線形代数例

$2 + 2 i$

ステップ 1

公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して $(a, b)$ から原点までの距離を計算します。

$r = \sqrt{2^{2} + 2^{2}}$

ステップ 2

$\sqrt{2^{2} + 2^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{4 + 2^{2}}$

ステップ 2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{4 + 4}$

ステップ 2.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$r = \sqrt{8}$

ステップ 2.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$r = \sqrt{4 (2)}$

ステップ 2.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$r = 2 \sqrt{2}$

ステップ 3

参照角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ を計算します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{2}{2} |)$

ステップ 4

$\arctan (| \frac{2}{2} |)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ を $2$ で割ります。

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

ステップ 4.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$θ̂ = \arctan (1)$

ステップ 4.3

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$θ̂ = \frac{π}{4}$

ステップ 5

$x$ と $y$ が両方とも正なので、点は第一象限に位置します。象限は右上から反時計回りに名前が付けられます。

象限 $1$

ステップ 6

$(a, b)$ は第一象限にあります。 $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

ステップ 7

公式を利用して複素数の根を求めます。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

ステップ 8

$r$ 、 $n$ 、および $θ$ を公式に代入します。

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ステップ 8.1

${(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{3}$ をまとめます。

$c i s \frac{{(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$

ステップ 8.2

$c$ と $\frac{{(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$ をまとめます。

$i s \frac{c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$

ステップ 8.3

$i$ と $\frac{c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$ をまとめます。

$s \frac{i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$

ステップ 8.4

$s$ と $\frac{i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$ をまとめます。

$\frac{s (i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

ステップ 8.5

括弧を削除します。

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ステップ 8.5.1

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c ({(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{3}$

ステップ 8.5.2

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{3}$

ステップ 8.5.3

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

ステップ 8.5.4

括弧を削除します。

$\frac{s (i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

ステップ 8.5.5

括弧を削除します。

$\frac{s (i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

ステップ 8.5.6

括弧を削除します。

$\frac{s (i c) {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

ステップ 8.5.7

括弧を削除します。

$\frac{s i c {(2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

ステップ 9

$k = 0$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 9.1

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

ステップ 9.2

$2 π (0)$ を掛けます。

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ステップ 9.2.1

$0$ に $2$ をかけます。

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{3})$

ステップ 9.2.2

$0$ に $π$ をかけます。

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{3})$

ステップ 9.3

$\frac{π}{4}$ と $0$ をたし算します。

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{3})$

ステップ 9.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 9.5

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 9.5.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 3})$

ステップ 9.5.2

$4$ に $3$ をかけます。

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

ステップ 10

$k = 1$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 10.1

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

ステップ 10.2

$2$ に $1$ をかけます。

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{3})$

ステップ 10.3

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

ステップ 10.4

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

ステップ 10.5

公分母の分子をまとめます。

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

ステップ 10.6

分子を簡約します。

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ステップ 10.6.1

$4$ に $2$ をかけます。

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{3})$

ステップ 10.6.2

$π$ と $8 π$ をたし算します。

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{3})$

ステップ 10.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 10.8

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.8.1

$3$ を $9 π$ で因数分解します。

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 10.8.2

共通因数を約分します。

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 10.8.3

式を書き換えます。

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

ステップ 11

$k = 2$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 11.1

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π}{3})$

ステップ 11.3

$4 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

ステップ 11.4

$4 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

ステップ 11.5

公分母の分子をまとめます。

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

ステップ 11.6

分子を簡約します。

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ステップ 11.6.1

$4$ に $4$ をかけます。

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 16 π}{4}}{3})$

ステップ 11.6.2

$π$ と $16 π$ をたし算します。

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{17 π}{4}}{3})$

ステップ 11.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

ステップ 11.8

$\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 11.8.1

$\frac{17 π}{4}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4 \cdot 3})$

ステップ 11.8.2

$4$ に $3$ をかけます。

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$

ステップ 12

解をまとめます。

$k = 0 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

$k = 1 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

$k = 2 : 2^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$

線形代数 例

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